図形と方程式

予備知識

数と式, 図形の性質



数直線上の点と実数を対応させて,対応する実数をその点の座標と呼ぶ. 数直線上の点と座標の関係を学んだあと, 平面上の点と座標の関係について学ぶ.平面は数直線2本で構成されていると考えれば, 特に新しいことはない.

キーワード:
2点間の距離,内分点,中点,外分点


平面上に直線を描くとき, どのような情報が揃えば直線が1つに決まるか考え,そのような情報から,直線の方程式が記述できることを学ぶ.

キーワード:
傾きと通る1点の座標,通る2点の座標


点と直線の距離とは,点から直線に下ろした垂線の長さのことである.これまでに 点や直線についての基本事項を学んでいるので,点と直線の距離を求めることができる.

キーワード:


次に,直線と直線の位置関係について学ぶ. 例えば,平行である2直線の方程式には,どのような関係があるのかなどを考察する.

キーワード:
平行,垂直,一致


平面上に円を描くとき, (直線のときに考えたのと同様に,) どのような情報が揃えば円が1つに決まるか考える.それらの情報から,円の方程式が求められる.

キーワード:
中心と半径,通る3点,2点を結ぶ線分が直径,基本形,一般形


円と直線の方程式を学んだので,それらを用いて,円と直線が共有点を持つかどうかの分類を行う.さらにそのあとで,円と直線が2点で交わる場合に,その2点を通る直線や円の方程式の形について考察する.

キーワード:
円の中心と直線の距離,判別式の符号


次に円と円の位置関係について学ぶ.まずは円と円が共有点を持つかどうかの分類を行う.これは容易に想像できるように2円の中心間の距離とそれぞれの半径との関係を調べれば良い.

キーワード:
中心間の距離


次に,円と円が2点で交わる場合に,その2点を通る直線や円の方程式の形について考察する.このような円は無数にあるが,それらの方程式には共通点があることを見る.

キーワード:


直線や円の方程式を求めたときのように,図形が1つに決まる条件から,その図形を表す方程式が求められるはずである. 与えられた条件を満たす点が動いてできる図形を,その条件を満たす点の軌跡というが,ここでは軌跡の方程式を求める際の基本となる手順を説明する.

キーワード:
必要十分条件


線分の端点からの距離の比が等しい点の軌跡,すなわち, 2点\({\rm{A}},\ {\rm{B}}\)に対して, \( {\rm{AP:BP}}=m:n \) を満たす点\({\rm{P}}\)の軌跡を 求める. (ただし,\(m,n\)は正の実数とし,\(m\ne n\)とする.)
この軌跡は円になることが知られており, アポロニウスの円と呼ばれる.

キーワード:


円の接線の方程式は,円と接点が決まれば1つに決まる.よって,円の方程式と接点の座標が分かれば,その接点における接線の方程式を求めることができるはずである.

キーワード:
中心と接点を通る直線と接戦は垂直


点の軌跡で学んだように, 方程式(等式)で表される図形は,一般には線であった.ここでは不等式で表される領域について学ぶ.

キーワード:
境界線を含む


次に,連立不等式で表される領域について学ぶ.基本的な考え方は,1つの不等式の場合と同じであるが,連立不等式で表される領域は,それぞれの不等式の表す領域の共通部分となる.

キーワード:
同時に満たす点,共通部分

三角形の重心,面積