二項定理

$(a+b)^n$などの展開式に現れる係数を求めるのに使われる二項定理を証明する．

$$(a+b)^n \hspace{5pt}=\hspace{5pt} \sum_{r=0}^n{_n}{\rm{C}}_ra^{n-r}b^r $$

ここで， $${_n}{\rm{C}}_r \hspace{5pt}=\hspace{5pt} \frac{n!}{(n-r)!r!}$$ は， $n$個から$r$個とる組合せの総数である．
展開式の係数に組み合わせが現れるのはとても興味深いが，これを具体例から解説する．また，数学的帰納法を用いた証明も紹介する．

最後に３項の場合の多項定理（一般の場合はこちらで証明している．）も証明する．

$(a+b+c)^n$の展開式において， $n=p+q+r$とするとき， $a^pb^qc^r$ の項の係数は， $$\frac{n!}{p!q!r!}=\frac{(p+q+r)!}{p!q!r!}$$ である．

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