カルダノの解法（３次方程式の解法）
最高次の係数を\(1\)としても一般性を失わないので，
３次方程式
\(x^3+ax^2+bx+c=0\)を考える．
$$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$$
とおく．
\(x=y-\displaystyle\frac{a}{3}\)
という変換により得られる\(y\)の３次式を\(g(y)\)とすると，
上の条件 を満たす組\((u,v)\)を求めよう． 条件の２つの目の式の両辺を３乗すると， \(u^3v^3=-p^3\)を得るが， これと \(u^3+v^3=-2q\) （条件の１つの目の式） と， 解と係数の関係から， \(u^3\)と\(v^3\)は，２次方程式 $$t^2+2qt-p^3=0$$ の解であることがわかる． ２次方程式の解の公式を用いて，
$$
g(y)=f\left(y-\displaystyle\frac{a}{3}\right)
=y^3+\left(-\frac{a^2}{3}+b\right)y
+\left(\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c\right)
$$
と計算でき，２次の項がない３次式が得られる．
簡単のため，
$$3p=-\frac{a^2}{3}+b
,\hspace{10pt}
2q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c
$$
とおくと，３次式
$$g(y)=y^3+3py+2q$$
を得る．
さらに\(y=u+v\ne0\)とおくと，
$$g(u+v)=u^3+v^3+2q+3(u+v)(uv+p)$$
と計算できる．
ここで，次の条件を考える．
$$
u^3+v^3=-2q
,\hspace{10pt}
uv=-p
$$
この条件を満たす組\((u,v)\)のうちの１つを
\((u_0,v_0)\)として，
\(y_0=u_0+v_0\)，
\(x_0=y_0-\displaystyle\frac{a}{3}\)
とおくと，
$$
f(x_0)
=f\left(y_0-\frac{a}{3}\right)
=g(y_0)
=g(u_0+v_0)
=0
$$
が成り立つので，この\(x_0\)が
３次方程式\(f(x)=0\)の解の１つである．
上の条件 を満たす組\((u,v)\)を求めよう． 条件の２つの目の式の両辺を３乗すると， \(u^3v^3=-p^3\)を得るが， これと \(u^3+v^3=-2q\) （条件の１つの目の式） と， 解と係数の関係から， \(u^3\)と\(v^3\)は，２次方程式 $$t^2+2qt-p^3=0$$ の解であることがわかる． ２次方程式の解の公式を用いて，
$$
u^3=-q+\sqrt{q^2+p^3}
,\hspace{10pt}
v^3=-q-\sqrt{q^2+p^3}
$$
を得る．
よって，これを満たし，\(uv=-p\)（条件の２つの目の式）
を満たす組\((u,v)\)を求めれば良い．
そのような\((u,v)\)は３つあり，
３次方程式\(f(x)=0\)の解も３つ
なので，
ここで求めた３つの組\((u,v)\)に対応する\(x\)が
求める３つの解である．
一般論では，少し分かりにくいかもしれないが， 虚数を考える必要性が出てくるのは， 上の
$$
u^3=-q+\sqrt{q^2+p^3}
,\hspace{10pt}
v^3=-q-\sqrt{q^2+p^3}
$$
の部分である．
単に，２次方程式を解くだけのときは，
無条件に虚数解を無視する（解なし）としても矛盾が生じないが，
３次方程式では，確かに実数解が３つ存在するが，
その解法の途中で負の平方根が出現するということが起きてしまう．
これを具体例
で見てみよう．
\(f(x)=x^3-3x^2-3x+9=0\) として，３次方程式\(f(x)=0\) を考える． $$f(x)=(x-3)(x^2-3)$$ と因数分解できるので， \(f(x)=0\)は，\(x=3,\pm\sqrt{3}\)という３つの実数解をもつ．
この３次方程式にカルダノの解法を適用してみよう． \(x=y+1\)とすると， $$ g(y)=f(y+1) =y^3-6y+4 $$ を得る． よって， 上の一般論の記号をそのまま用いると，
$$
3p=-6
,\hspace{5pt}
2q=4
\hspace{10pt}
\Longleftrightarrow
\hspace{10pt}
p=-2
,\hspace{5pt}
q=2
$$
である．
\(y=u+v\)とすると，
\(u^3,v^3\)は，
２次方程式
$$t^2+4t+8=0$$
の解と考えられるので，
$$
u^3=-2+\sqrt{-4}
,\hspace{10pt}
v^3=-2-\sqrt{-4}
$$
を得る．
ここで虚数が登場するのである！ ３次方程式\(f(x)=0\)は確かに３つの実数解を持つのだが， カルダノの解法では，ここで虚数を認めないと計算が進まないのである． 一旦，虚数を認めて， 解法を続けることにしよう． 虚数単位を\(i\)とする．
$$
u^3=-2+2i
,\hspace{10pt}
v^3=-2-2i
,\hspace{10pt}
uv=2
$$
を満たす組\((u,v)\)を求めれば良い．
このようなもののうち１つを
\((u_0,v_0)\)とすると，それが，
$$(u_0,v_0)=(1+i,1-i)$$
であることはすぐにわかる．
よって，実数解のうちの１つ
$$x_0=y_0+1=u_0+v_0+1
=(1+i)+(1-i)+1
=3
$$
が得られた．
虚数を認めることにより，実数解が得られたのである．
他の２つの解\(x=\pm\sqrt{3}\)についても同様にして求められる．
このようにして，カルダノは，虚数の存在を提唱したが， 当時の多くの人々は， この２乗して負の数になるという謎の数の存在を認めていたなったようである． しかし， 17世紀にデカルトが虚数という言葉を初めて使い， 18世紀にはオイラーが，imaginary numberの頭文字である\(i\)を虚数単位を 表すのに使用した． さらに1799年のガウスによる「代数学の基本定理」など により， 徐々に 虚数が 世に受け入れられるようになったと言われている．
