円束 – gleamath.com

$i=1,2$に対して， $$ f_i(x,y)=(x-a_i)^2+(y-b_i)^2 – r_i^2 $$ とおき，２つの円 $$ C_1 : f_1(x,y)=0, $$ $$ C_2 : f_2(x,y)=0 $$ を考える．このとき，任意の実数$k$に対して，方程式

$$ F_k(x,y):=kf_1(x,y)+f_2(x,y) =0 $$

の表す図形について考えよう．

$k=-1$のときは，根軸と根軸定理で紹介した通りであり，

２円が異なる２点で交わっている場合は，コチラで詳しく述べている．

よって，本稿ではそれ以外の場合を考察する．具体的には次の命題を証明する．

命題． $k\ne-1,0$とし， $r_1\geq r_2$を仮定する．

$C_1$の内部に，$C_2$がある場合， $k > 0$なら，図形$F_k(x,y)=0$は円をなす．
$C_1, C_2$が内接している場合， $k=\displaystyle\frac{r_2}{r_1}$で，図形$F_k(x,y)=0$は１点（接点）となり，その他の$k$では円をなす．
$C_1, C_2$が２点で交わっている場合は，図形$F_k(x,y)=0$は，２交点を通る円をなす．
$C_1, C_2$が内接している場合， $k=-\displaystyle\frac{r_2}{r_1}$で，図形$F_k(x,y)=0$は１点（接点）となり，その他の$k$では円をなす．
$C_1$の外部に，$C_2$がある場合， $k < 0$なら，図形$F_k(x,y)=0$は円をなす．

証明はこちら
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動かす円束も参照していただきたくと，イメージが掴みやすいと思います．