組合せ

異なる\(n\)個のものから\(r\)個取り出して,まとめたものを \(n\)個から\(r\)個とる組合せといい, その総数を \({_n}{\rm{C}}_r\)で表す. ここでは, 組合せの基本的な公式 $${_n}{\rm{C}}_r \hspace{5pt}=\hspace{5pt} \frac{{_n}{\rm{P}}_r}{r!} \hspace{5pt}=\hspace{5pt} \frac{n!}{(n-r)!r!}$$ を証明する. (予備知識として, 順列と階乗 の知識が必要である.)
最後に よく知られた組合せの3つの基本公式
  • \({_n}{\rm{C}}_r={_n}{\rm{C}}_{n-r}\)

  • \({_n}{\rm{C}}_r={_{n-1}}{\rm{C}}_r+{_{n-1}}{\rm{C}}_{r-1}\)

  • \(r\cdot{_n}{\rm{C}}_r=n\cdot{_{n-1}}{\rm{C}}_{r-1}\)

を証明する.


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