予備知識
数と式，
式と証明
実数に，２乗して\(-1\)になる数は存在しないが，虚数単位\(i\)と呼ばれる２乗して\(-1\)になる数を導入することによって， 実数全体の集合は，複素数全体の集合へと拡張される． しかしなぜ， \(i\)のような数を導入したのだろうか．そのような必要性があったのだろうか． ここでは，\(i\)誕生までの歴史を紹介する．
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カルダノ
二次方程式\(x^2+1=0\)は，実数解を持たないが，虚数単位\(i\)と呼ばれる２乗して\(-1\)になる数を導入することによって，\(x=\pm i\)が上の２次方程式の解となる．このように虚数単位を導入することにより，実数全体の集合は，複素数全体の集合へと拡張される．これまで実数でしか考えることができなかった数学の世界が大幅に広がったのである．
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虚数，純虚数，共役複素数
二次方程式の実数解の個数は，その判別式の符号で分類できるのであった．しかしこの分類は，実数世界の話であって， 虚数を導入した今，複素数全体の集合において，もう一度考える必要がある．しかし結果は大きく変わらない．
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虚数解
複素数の範囲では，全ての二次方程式は，２つの解を持つことがわかった．（重解は同じ解が２つと考える．） ここでは，二次方程式の係数とその２つの解の和と積との関係を学ぶ．
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除法の原理から剰余の定理を証明し， 剰余の定理から因数定理を証明する． 今後，高次の方程式を扱うにあたって，因数定理は必須である．
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高次方程式が（整数の範囲で）因数分解できるかという問題は重要である．無数にある有理数の中から解となるものを探すのは至難の技であるが，ここではその可能性をある程度絞ることができるという結果を証明する．
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因数定理
二次方程式に解の公式があったように， 三次方程式にも解の公式が存在する． ここでは，三次方程式の解の公式と，それに関する歴史的な逸話を紹介する．
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数学の試合