指数関数

予備知識

特になし



正の整数\(n\)に対して,数\(a\)を\(n\)回かけた数は,\(a^n\)で表され,\(a\)を底,\(n\)を指数というのであっ た.
この定義から指数は自然数であるが, ここでは,\(0\)や負の整数の指数を定義し,指数を整数全体にまで拡張する. 指数法則が成り立つように自然に拡張できるというところが大切である.

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指数法則


正の数\(a\)に対して, \(a\)の平方根とは,二次方程式\(x^2=a\)の\(2\)つの解のことであり, \(\sqrt{a}\)は, \(a\)の平方根のうち正の方を表すのであった.
ここでは, \(a\)の\(n\)乗根を \(n\)次方程式\(x^n=a\)の\(n\)個の解と定義し, 記号\(\sqrt[n]{a}\)を定義する.
平方根(すなわち\(2\)乗根)のときとは違い,\(n\)が奇数であれば, \(\sqrt[n]{a}\)は負の実数である (ように定義される)ので注意が必要である.

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\(\sqrt[n]{a}\)は, \(a\)の\(n\)乗根のうちの\(1\)つ


ここでは,累乗根を用いて, 有理数や無理数の指数を定義し, 指数を実数全体にまで拡張する. ここでも,指数法則が成り立つように自然に拡張できるというところが大切である. 実数全体で指数を定義できたことにより, 次の指数関数が描けるのである.

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\(a > 0, a\ne1\)とする. このとき, 関数\(y=a^x\)を \(x\)の指数関数といい, \(a\)をそのという. ここでは,指数関数のグラフを描き, その性質をみる. 中でも単調性は,次の指数方程式や指数不等式を解くための基本となる性質である.

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対称移動,平行移動


指数関数を含む方程式の解法を学ぶ. 解法の基本となるのは指数関数の単調性である.

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指数関数を含む不等式の解法を学ぶ. 解法の基本となるのは指数関数の単調性である.

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