式と証明

\((a+b)^n\)の展開式に現れる係数に関する二項定理を証明する．さらに， \((a+b+c)^n\)の展開式に現れる係数についても証明する．

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組合せ，三項定理

二項定理の一般化として， \((a_1+a_2+\cdots+a_m)^n\)の展開式に現れる係数関する多項定理を証明する．

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二項定理で見たように， 組合せの総数を求める際に用いた \({_n}{\rm{C}}_r\)は， \((a+b)^n\)の展開式の係数に現れることから，二項係数と呼ばれる．この二項係数と， パスカルの三角形と呼ばれる有名な三角形との関係を考察する．

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最短経路の本数

例えば，整数の範囲では， \(7\div 3\)の商は\(2\)，余りは\(1\) と答えることができる．これは， 整数\(7\)と\(3\)に対して， \(7=3\times q+r\) となる\(q,r\)（\(0\leq r< 3\)）が一意的に存在して， それは，\(q=2, r=1\)であると言い換えることもできる．
同じことが，整式に対しても成り立つというのが除法の原理である．整式の割り算を定義するために除法の原理を証明する．

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単項式と多項式を合わせて整式というのであった．これまで，整式の加減乗法については，多くの問題を扱ってきたが，除法に関しては定義されていなかった． これは，整数の商が整数の範囲では収まらないように，整式の商が整式の範囲では収まらないからである．このため， 数における分数や有理数のように， 分数式や有理式というものを定義する．

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除法の原理

これまで同じ等式でも意味の異なる等式を扱っていたことを意識していただろうか． \(x\)に関しての方程式とは，特定の\(x\)に対して成り立つ等式である．（等式を満たす\(x\)を求めることを方程式を解くというのであった．）それに対して， 公式を記述する際に用いる等号，すなわちその等式は，どのような\(x\)に対しても成り立たなければならない．このような等式を恒等式という．

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異なるように見える式が 恒等式 であることを証明することは非常に大切である． ここでは等式の証明の基礎を例題を通して学ぶ．

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条件付き等式，条件\(x\ne y\)，比例式，少なくとも１つは定数

不等式が成り立つということは， ある式を別の式で評価できるということである． 難しく見える式が 比較的簡単な式で評価できることも多く， 不等式が証明できるということは重要である． ここでは不等式の証明の基礎を例題を通して学ぶ．

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２乗して比較，等号成立条件

２つの数の相加平均と相乗平均の大小関係に関する不等式を証明する．

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三角不等式と呼ばれる不等式を証明する． 三角形をイメージすることで，その幾何学的な意味も合わせて覚えておくと良い．

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コーシー・シュワルツの不等式を証明する． 不等式自体も重要であるが， 二次関数を用いた証明方法は， 大変美しい．

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