予備知識
特になし
線分を半分に分ける点をその線分の中点と呼んだ．これは言い方を変えると， その線分を\(1 : 1\)に分ける点とも言える． もっと一般の比に対して， 線分を分ける点を定義し，それを内分点と呼ぶ． さらに，線分を延長した直線上の点として， 外分点を定義する．
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\(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)において， 辺\({\rm{BC}}\)の中点を\({\rm{M}}\) とする．このとき， 線分\({\rm{AB, AC, AM, BM, CM}}\) の長さの間にある関係を中線定理として証明する．
また， 辺\({\rm{BC}}\)の 中点\({\rm{M}}\)を 内分点や外分点に拡張した定理が， スチュワートの定理である．
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\(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)において， \(\angle{\rm{A}}\)の内角の二等分線と， 辺\({\rm{BC}}\)の交点は， 辺\({\rm{BC}}\)を \({\rm{AB:AC}}\)に内分する点である事を証明する． さらに，この定理とスチュワートの定理を合わせることで， 線分の長さに関する定理が証明できることを学ぶ．
これらの拡張として， \(\angle{\rm{A}}\)の外角の二等分線 についても同様の結果が得られる．
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三角形に対して決まる特別な点として， 外心，内心，傍心，重心，垂心 を学ぶ． これらは全て，ある条件を満たす３本の直線の交点として定義される．
特に，外心，内心，傍心については， その性質から定義される円 （それぞれ， 外接円，内接円，傍接円 ）も重要である．
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三角形と点に対する重要な結果である チェバの定理 を証明する．
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三角形と直線に対する重要な結果である メネラウスの定理 を証明する．
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「１つの弧に対する円周角は一定であり，その弧に対する中心角の半分である．」 という円周角の定理を証明する．
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円周角の定理を用いて， 円に内接する四角形の性質を証明する． 一般的に，四角形は円に内接するとは限らないが，円に内接することが分かれば， そこから沢山の性質が導かれることがわかるだろう．
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円に内接する四角形の辺や対角線の長さに関する定理であるトレミーの定理 を証明する．
円に内接する四角形の性質でみた定理の逆を用いることによって，四角形が円に内接するかどうかを判断することができるが， 四角形に内接することが分かれば，このトレミーの定理が適用できる．
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三角形の相似，余弦定理
円と接線と，接点を頂点にもつ円に内接する三角形に関する定理である 接弦定理 を証明する． 接弦定理の逆を用いることで， ある直線が円の接線であることを示すこともできる．
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円と点に対して決まる値 $$\mbox{( 点と円の中心の距離 )}^2 − \mbox{( 円の半径 )}^2 $$ のことを方べき(の値)という． この方べきの値に関する定理を証明する．
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