\(x\)の関数\(y\)が， \(x\)と\(y\)の関係式 $$F(x,y)=0$$ で与えられているとき， \(y\)は\(x\)の \(F(x,y)=0\)によって定まる陰関数 という．
一般に， \(F(x,y)=0\)によって定まる\(x\)の陰関数\(y\)を， \(y=f(x)\)の形で表すことは容易ではない． 例えば， $$F(x,y)=x^2+xy+y^2-3=0$$ を， \(y=f(x)\)の形にするのは少し面倒である． 陰関数に対して， \(x\)の関数\(y\)が， \(y=f(x)\)の形で与えられているとき， \(y\)は\(x\)の陽関数という．本稿の動機は，
「具体的に\(y=f(x)\)の形に書くことが難しい \(x\)の陰関数\(y\)の導関数\(y’\)を求めたい．」
一般論は難しいので具体例を紹介する．
\(F(x,y)=x^2+xy+y^2-3\)として，
\(F(x,y)=0\)によって定まる\(x\)の陰関数\(y\)の導関数を求めよう．
\(y\)は\(x\)の関数なので，
\(y=f(x)\)とおくと，
$$F(x,f(x))=x^2+xf(x)+\{f(x)\}^2-3=0$$
と書けるので，
この両辺を\(x\)で微分することにより，
$$
2x+f(x)+xf'(x)+2f(x)f'(x)=0
$$
$$
f'(x)\{x+2f(x)\}=-\{2x+f(x)\}
$$
を得る．よって，
\(x+2f(x)\ne0\)のときは，
$$
f'(x)=-\frac{2x+f(x)}{x+2f(x)}
\mbox{ すなわち， }
y’=-\frac{2x+y}{x+2y}
$$
が従う．
上の例では，\(y\)が\(x\)の関数であることが見やすいように， \(y=f(x)\)とおいたが，慣れれば，\(y\)のまま計算しても良い． この場合，合成関数の微分法に注意して， \(x^2+xy+y^2-3=0\)の両辺を\(x\)で微分することにより， 直接，
$$2x+y+xy’+2yy’=0
\Longleftrightarrow
y’=-\frac{2x+y}{x+2y}
$$
を得ることができる．
補足
上の例の\(F(x,y)=0\)すなわち，\(x^2+xy+y^2=3\)で定まる図形は楕円である． 上の結果の式 $$y’=-\displaystyle\frac{2x+y}{x+2y}$$ に，\((x,y)=(1,1)\)を代入して得られる 値\(-1\)は， この楕円上の点\((1,1)\)における接線の傾きである．少し進んだ話
ここまでの議論では， 次にあげるようなことは無条件で仮定していた．- \(x\)と\(y\)の関係式\(F(x,y)=0\)により， \(x\)の陰関数\(y\)が定まっており，
- \(y=f(x)\)が\(x\)で微分可能であり，
- \(F(x,y)=F(x,f(x))\)が\(x\)で微分可能である．
曖昧ではあるが，陰関数定理の主張を述べることを試みる． そのためにまずは記号を定義する．
\(F(x,y)\)を\(x\)の関数と見たとき（すなわち\(y\)を定数と見たとき）に， \(F(x,y)\)が\(x\)で微分可能であるとする． このとき， \(x\)の関数\(F(x,y)\)の\(x\)に関する導関数を\(F_x(x,y)\)と表す． すなわち， $$ F_x(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h,y)-F(x,y)}{h} $$ と定める． また， \(y\)に関しても，\(y\)についての同様の仮定のもとで， $$ F_y(x,y)=\lim_{k\to 0}\frac{F(x,y+k)-F(x,y)}{k} $$ と定める． \(F_x(x,y)\)と\(F_y(x,y)\)が存在して，これらがともに連続 であるとき， \(F(x,y)\)は，\(C^1\)級であるという．
陰関数定理
関数\(F(x,y)\)が\(C^1\)級であり，
$$
F(x,y)=0,\hspace{10pt}
F_y(x,y)\ne0
$$
が成り立つとする．
このとき，
微分可能な関数\(y=f(x)\)が存在して，
次が成り立つ．
$$
F(x,f(x))=0,\hspace{10pt}
f'(x)=-\frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))}.
$$
上の例では， \(F(x,y)=x^2+xy+y^2-3=0\)で定まる\(x\)の陰関数\(y\)の導関数が， \(y’=-\displaystyle\frac{2x+y}{x+2y}\)であることをみたが， これの分子と分母はそれぞれ，
$$F_x(x,y)=2x+y,\hspace{5pt}
F_y(x,y)=x+2y$$
になっていることに気づいただろうか．
また例の途中で注意した
\(x+2f(x)\ne0\)も，
（\(y=f(x)\)とおいていたので，）
\(F_y(x,y)\ne0\)のことであり，
これは，陰関数定理の仮定の式である．
この記事は， [黒田2018] を参考にさせていただいています．
