問題．
\(5\)で割ると\(3\)余り，
\(3\)で割ると\(1\)余る数を
\(15\)で割ったときの余りを求めよ．
一般的には，連立合同式や一次不定方程式の問題として，
合同式やユークリッドの互除法を用いて解かれるこの問題を，
本稿では，次のように図解してみる．
まず，右のような表を作り，
（行と列の番号は\(0\)から始まっていることに注意する）
次に， 左上のマスから， 斜め右下方向に， \(0,1,2,\cdots\)と 順に数字を入れる． その際，
最終的に，はじめに印をつけた部分にある数字が答えである． よって，求める余りは，\(13\)である．
それでも，あえてこの方法を示したのは， 上の問題の背景にある中国式剰余定理の 全単射（一対一対応）が見やすいという理由からである．
定理（中国式剰余定理）．
\(m_1,\ m_2\)を互いに素な自然数とし，
\(m=m_1m_2\)とする．
このとき，
$$
\left\{
\begin{array}{c}
n\equiv a_1\mod m_1\\
n\equiv a_2\mod m_2
\end{array}
\right.
$$
を満たす\(n\ (0\leq n < m)\)
が一意的に存在する．
上で述べた一対一対応を簡単に説明しよう．
自然数\(m\)に対して，集合\(R_m\)を $$ R_m:=\{0,1,2,\cdots,m-1\} $$ と定義する． このとき， 一対一対応 $$ R_3\times R_5\ni(a,b) \longleftrightarrow c\in R_{15} $$ が存在するというのが中国式剰余定理の主張である．
$$ R_{15}\ni 13 \longrightarrow (1,3) \in R_3\times R_5 $$ 側の対応（すなわち，13から組(1,3)を得ること）は簡単であるが， 難しいのは，逆側の対応 $$ R_3\times R_5\ni (1,3) \longrightarrow 13 \in R_{15} $$ である． （すなわち，組(1,3)から13を得ることである．） この難しい側の 対応を与えるということが， 上の問題を解くということなのであるが， この一対一対応をまとめたものが， 上で作った表なのである．
詳しくは，下のPDFを見ていただきたい．
