重複組合せ

異なる\(n\)個のものから， 重複を許して， \(r\)個を取り出す 組合せ を 重複組合せという．

注意． （ 重複順列 の場合と同様に，） 一般的には，「\(n\)個のものから\(\cdots\)」という表現が使われるが， 「\(n\)種類のものから\(\cdots\)」 と言い換えた方がイメージが湧きやすいかもしれない． 重複を許すので， \(n\)個しかないのではなくて， \(n\)種類のものがそれぞれ沢山あるのである．


次のように記号を定める．
異なる\(n\)個のもの（\(n\)種類のもの）から， 重複を許して\(r\)個取る組合せの総数を $${_n}{\rm{H}}_r$$ と表す． （\(n\)と\(r\)の大小関係は仮定されていないことに注意する．）


まず具体例として，

• \(A,B,C\)と書かれた３種類の玉から， ７個の玉を取り出す重複組合せの総数
• 何も書かれていない７つの玉と２枚の仕切りの 合計９つの並べ方の総数

を考えることが同じことであることについて解説する． すなわち， $${_3}{\rm{H}}_7={_{9}}{\rm{C}}_7$$ であることをみる．
そして一般の場合には，次が成り立つことを証明する．

重複組合せの総数

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