原始的な整数係数の多項式
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\hspace{35pt}(a_n\ne0)$$
に対して，
次の条件を満たす素数\(p\)が存在する時，
\(f(x)\)は因数分解できない．
を証明する．
- \(p\)は，\(a_n\)の約数でない．
- \(p\)は，\(a_i\) \((i=0,1,\cdots,n-1)\)の約数である．
- \(p^2\)は，\(a_0 \)の約数でない．
ここで， 整数係数の多項式が原始的であるとは， 全ての係数の最大公約数が\(1\)であるときをいう．
また，「因数分解できない」とは， 正確には， 「整数係数の多項式の積の形に変形できない」 ということである．
証明の後，次の２つの例題についても触れる．
- 多項式\(x^3+3x^2+6x+15\)が因数分解できないことを示せ．
- 多項式\(x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1\)が因数分解できないことを示せ． （\(p\)は素数）
