指数の拡張(整数の指数)

正の整数\(n\)に対して, 数\(a\)を\(n\)回かけた数は, \(a^n\)で表され,\(a\)を底,\(n\)を指数というのであった.

次のように,\(0\)や負の数の指数を定義することで, 指数を整数全体にまで拡張できる.
\(a\ne0\),\(n\)を正の整数とする. このとき,\(0\)以下の整数の指数を次のように定める. $$a^0=1, \hspace{20pt} a^{-n}=\frac{1}{a^n} $$

このように定義した整数の指数に対しても, 次の指数法則が成り立つ.
\(a\ne0, b\ne0\)とする.整数\(m, n\)に対して,次が成り立つ.
  • \(a^ma^n=a^{m+n}\) , \(\displaystyle\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)

  • \(\left(a^m\right)^n=a^{mn}\)

  • \((ab)^n=a^nb^n\) , \(\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n=\displaystyle\frac{a^n}{b^n}\)




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