次のように,\(0\)や負の数の指数を定義することで, 指数を整数全体にまで拡張できる.
\(a\ne0\),\(n\)を正の整数とする.
このとき,\(0\)以下の整数の指数を次のように定める.
$$a^0=1,
\hspace{20pt}
a^{-n}=\frac{1}{a^n}
$$
このように定義した整数の指数に対しても, 次の指数法則が成り立つ.
\(a\ne0, b\ne0\)とする.整数\(m, n\)に対して,次が成り立つ.
\(a^ma^n=a^{m+n}\) , \(\displaystyle\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
\(\left(a^m\right)^n=a^{mn}\)
\((ab)^n=a^nb^n\) , \(\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n=\displaystyle\frac{a^n}{b^n}\)