GLEAMATH BALL

青いボールをタップするまでの時間を競うだけのゲームです. 良かったらどうぞ.



GAME


以下は数学的な補足です.
ボールが衝突したときのはね返り角度を計算する.
下図のように,青色のボールが止まっている赤色のボールに衝突する状況を考える. ただし,角度は全て向きも含めた(始線を\(x\)軸の正の部分とする)一般角で考える.
  • \(\theta\) : 青色のボールの進む向き
  • \(\theta’\) \(:=\theta-\pi\)
  • \(\ell\) : 衝突時の赤色のボールと青色のボールの中心を通る直線
  • \(\varphi\) : 直線\(\ell\)と,\(x\)軸のなす一般角
  • \(\psi\) : 衝突後に青色のボールが進む向き
このとき次が成り立つ.

$$\psi \hspace{5pt}=\hspace{5pt} 2\varphi-\theta’ \hspace{5pt}=\hspace{5pt} 2\varphi-\theta+\pi$$

様々な向きからの衝突が考えられるが, \(\varphi\)の値を固定し, \(\varphi\)に対して, \(\theta’=\theta-\pi\)が $$\varphi-\frac{\pi}{2}<\theta'<\varphi+\frac{\pi}{2}$$ を満たす範囲で考えれば良い.
(多くのパターンをイメージできるように, 以下の図ではあえて\(\varphi\)を一定にしていない.)

\(\varphi-\frac{\pi}{2}<\theta'<\varphi\)のとき,

青いボールの軌道を表す点線が,直線\(\ell\)に関して対称であることに注意すると, 等式 $$ \frac{1}{2}(\psi-\theta’)=\varphi-\theta’ $$ が成り立つ.よって, \( \psi=2\varphi-\theta’ \) が従う.





右図のように, \(\theta’<0\)となる場合でも同様である.

\(\varphi<\theta'<\varphi+\frac{\pi}{2}\)のとき,

青いボールの軌道を表す点線が,直線\(\ell\)に関して対称であることに注意すると, 等式 $$ \frac{1}{2}(\theta’-\psi)=\varphi-\psi $$ が成り立つ.よって, \( \psi=2\varphi-\theta’ \) が従う.






右図のように, \(\psi<0\)となる場合でも同様である.

\(\theta’ = \varphi\)のとき,

青いボールが飛んできた方向と同じ方向に跳ね返る場合である. $$\psi=\theta’=\varphi$$ から, \(\psi=2\varphi-\theta’\) が従う.