対数方程式

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\(a > 0, a\ne1\)とする. 対数関数\(\log_ax\)を含む方程式を 対数方程式という.

対数方程式の解法において,基本となる次の命題である. 証明は,対数関数の単調性から明らかであろう.
\(a > 0, a\ne1, M > 0, N > 0\)とする. このとき,次が成り立つ. $$ \log_aM=\log_aN \hspace{5pt} \Longleftrightarrow \hspace{5pt} M=N $$
対数\(\log_aM\)の真数\(M\)は必ず正であった事を思い出す. この条件は,真数条件と呼ばれ, 対数方程式を解く際には注意しなければならない条件である. このことについて, よく似た2つの対数方程式
  • \(\log_2(x^2+x-2)=2\)

  • \(\log_2(x-1)+\log_2(x+2)=2\)

を用いて説明する.


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