最大値・最小値の原理

実数の連続性公理 を仮定して, 次の最大値・最小値の原理 と呼ばれる定理を証明する.

定理(最大値・最小値の原理).
関数\(f(x)\)が 閉区間\([a,b]\)で連続であるとき, \(f(x)\)の\([a,b]\)における 最大値と最小値が存在する.
この定理の 主張は直感的には明らかであるが, 高校数学の範囲では証明できないので, 高校では「原理」と呼ばれている.

また,証明で度々用いられている ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 は実数の連続性公理と同値な定理であり, アルキメデスの公理は,これから, 証明することができる定理である.

実数の連続性と同値な定理たちについては, こちら を参照.


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この記事は, [黒田2018] を参考にさせていただいています.