偶数桁の回文数は 11 の倍数

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回文数とは,次のように定義される正の整数のことである.
\(n\)を正の整数とする. \(n\)桁の回文数とは, \(n\)桁の正の整数であって, \(a+b=n-1\)を満たす非負整数\(a,b\)に対して, \(10^a\)の位(\(a+1\)桁目)の数と, \(10^b\)の位(\(b+1\)桁目)の数が等しい数のことをいう. ただし,記数法は十進法であるとする.

例えば, \(12321\)や\(916619\)は,回文数である.


本稿では次の定理を証明する.

偶数桁の回文数は,\(11\)の倍数である.

証明の概要は次の通りである.
  1. 偶数桁のゾロ目数 (全ての桁の数が同じであるような正の整数) が\(11\)の倍数である事を示す.
  2. 偶数桁の回文数は, 偶数桁のゾロ目数の倍数を足したり引いたりする操作を繰り返すことで, ゾロ目数にすることができる.
その証明は次のようにイメージすることができる.
例えば,回文数\(314413\)を次のようにブロックを積み上げた形のように考えると, 小さな長方形のブロックを加えたり取り除いたりして,全体が大きな長方形であるようにできる.
この「長方形のブロックを加える(取り除く)」という操作は, 「偶数桁のゾロ目数の倍数を足す(引く)」ということに対応しており, 最後にできた大きな長方形は,偶数桁のゾロ目数に対応している.

厳密な証明は,下のPDFファイルを参照していただきたい.

最後にこの事実と, 高次式の因数分解との関係についても言及する.


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