根軸と根軸定理

根軸とは, 同心円でない2つの円に対する 方べきの値 が等しい点の集まりのことをいう.

以下,同心円でない2つの円
$$C_1:(x-a_1)^2+(y-b_1)^2=r_1^2$$ $$C_2:(x-a_2)^2+(y-b_2)^2=r_2^2$$
を考える. まず,次の命題を証明する.
  • 同心円でない2つの円\(C_1\),\(C_2\)の根軸は,直線である.
  • 同心円でない2つの円\(C_1\),\(C_2\)の根軸は,中心を結ぶ直線に対して垂直である.
その次に2つの円\(C_1\),\(C_2\)が,
  • 交わらない場合
  • 接する場合
  • 2点で交わる場合
にそれぞれ,根軸が(幾何的に)どのようになるか証明する.
そして,最後に次の根軸定理を証明する.

根軸定理

どの2つも同心円でない3つの円 \(C_1\),\(C_2\),\(C_3\)を考える.
\(C_1\)と\(C_2\), \(C_2\)と\(C_3\), \(C_3\)と\(C_1\)の根軸をそれぞれ \(\ell_{12}\),\(\ell_{23}\),\(\ell_{31}\)とする.
この時, \(\ell_{12}\),\(\ell_{23}\),\(\ell_{31}\)は平行であるか, 1点で交わる. 後者の場合, その点を根心と言う.




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