- \(a_1=a\)
- \(a_{n+1}=pa_n+q^n\)
\(p=q\)なら
$$
a_n
=q^{n-1}(a+n-1)
=p^{n-1}(a+n-1)
$$
\(p\ne q\)なら
$$
a_n
=
ap^{n-1}+\frac{q(q^{n-1}-p^{n-1})}{q-p},
$$
と表せる．
〔略説〕
漸化式の両辺を \(q^{n+1}\)で割ることにより，等式 $$ \frac{a_{n+1}}{q^{n+1}}=\frac{pa_{n}}{q^{n+1}}+\frac{1}{q} $$ が得られる． ここで，数列\(\{b_n\}\)を $$ b_n=\frac{a_n}{q^n} $$ で定義すると， $$ b_{n+1}=\frac{p}{q}b_n+\frac{1}{q} $$ が成り立つ．
\(p=q\)なら， これは， 単に等差数列の漸化式 (→) であり，
\(p\ne q\)なら， \(a_{n+1}=pa_n+q\)型の漸化式 (→) である．
以上から， 数列\(\{b_n\}\)の一般項が求まり， これから， 数列\(\{a_n\}\)の一般項が求まる．
