\(a_{n+1}=pa_n+q^n\)型の漸化式

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\(p\ne0,1,\ q\ne0\)とする. 漸化式
  • \(a_1=a\)
  • \(a_{n+1}=pa_n+q^n\)
で定まる数列\(\{a_n\}\)の一般項は,

\(p=q\)なら
$$ a_n =q^{n-1}(a+n-1) =p^{n-1}(a+n-1) $$

\(p\ne q\)なら
$$ a_n = ap^{n-1}+\frac{q(q^{n-1}-p^{n-1})}{q-p}, $$
と表せる.


〔略説〕
漸化式の両辺を \(q^{n+1}\)で割ることにより,等式 $$ \frac{a_{n+1}}{q^{n+1}}=\frac{pa_{n}}{q^{n+1}}+\frac{1}{q} $$ が得られる. ここで,数列\(\{b_n\}\)を $$ b_n=\frac{a_n}{q^n} $$ で定義すると, $$ b_{n+1}=\frac{p}{q}b_n+\frac{1}{q} $$ が成り立つ.

\(p=q\)なら, これは, 単に等差数列の漸化式 (→) であり,
\(p\ne q\)なら, \(a_{n+1}=pa_n+q\)型の漸化式 (→) である.
以上から, 数列\(\{b_n\}\)の一般項が求まり, これから, 数列\(\{a_n\}\)の一般項が求まる.


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