\(a_{n+1}=\frac{ra_n+s}{pa_n+q}\)型の漸化式

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漸化式
  • \(a_1=a\)
  • \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{ra_n+s}{pa_n+q}\)
で定まる数列\(\{a_n\}\)の一般項を考える.これは,
  • \(s=0\)なら,\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{ra_n}{pa_n+q}\)型の漸化式 (→) であり,
  • \(p=0\)なら,\(a_{n+1}=pa_n+q\)型の漸化式 (→) である.
  • また, \(p:q=r:s\),すなわち, \(ps=qr\)なら,数列\(\{a_n\}\)は定数列である.
よって,以下では, \(s\ne0\ p\ne0,\ ps\ne qr\)を仮定する.

特性方程式 $$ x=\frac{rx+s}{px+q} $$ の解を\(\alpha,\ \beta\)とすると, 解の種類に応じて, 数列\(\{a_n\}\)の一般項は,次のように表せる:
  • \(\alpha\ne\beta\)のとき
    $$ a_n =\frac{\beta(a-\alpha)(r-p\alpha)^{n-1}-\alpha(a-\beta)(r-p\beta)^{n-1}} {(a-\alpha)(r-p\alpha)^{n-1}-(a-\beta)(r-p\beta)^{n-1}}, $$
  • \(\alpha=\beta\)のとき
    $$ a_n =\frac{a(q+r)+2p\alpha(n-1)(a-\alpha)}{(q+r)+2p(n-1)(a-\alpha)}. $$


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