隣接3項間漸化式

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漸化式
  • \(a_1=a,\ a_2=b\)
  • \(pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0\)
で定まる数列\(\{a_n\}\)の一般項を考える.

特性方程式 $$ px^2+qx+r=0 $$ の解を\(\alpha,\ \beta\)とすると, 解の種類に応じて, 数列\(\{a_n\}\)の一般項は,次のように表せる:
  • \(\alpha\ne\beta\)のとき
    $$ a_n =\frac{(b-a\alpha)\beta^{n-1}-(b-a\beta)\alpha^{n-1}}{\beta-\alpha}, $$
  • \(\alpha=\beta\)のとき
    $$ a_n =a\alpha^{n-1}+(n-1)(b-a\alpha)\alpha^{n-2}. $$
※特性方程式が\(1\)を解に持つ場合, 階差数列を考えることもできる.

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