隣接\(k\)項間漸化式

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初期値 $$ a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{k-1} $$ と, 漸化式
$$ p_{k-1}a_{n+(k-1)} +p_{k-2}a_{n+(k-2)} +\cdots +p_{1}a_{n+1} +p_{0}a_{n} =0 $$
で定まる数列\(\{a_n\}\)の一般項を考える.

特性方程式
$$ p_{k-1}x^{k-1} +p_{k-2}x^{k-2} +\cdots +p_{1}x +p_{0} =0 $$
の解を\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{k-1}\)とし, 任意の\(i,j\)に対して, \(\alpha_i\ne\alpha_j\) を仮定する. このとき, 数列\(\{a_n\}\)の一般項は,
$$ a_n=\sum_{j=1}^{k-1}\sum_{i=1}^{k-1}a_jv_{i,k-j}\alpha_i^{n-1} $$
と表せる. ここで, \(v_{i,k-j}\)は, ラグランジュ基底多項式 $$ \ell_i(x) =\prod_{j=1,j\ne i}^{k-1}\frac{x-\alpha_j}{\alpha_i-\alpha_j} $$ の 展開式における \(j-1\)次の項の係数である.

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