双曲線の外部の点から引いた接線の直交条件

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命題. 双曲線 $$H:\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ において, \(H\)の外側にある点\({\rm{P}}(p,q)\)を通り\(H\)に接する\(2\)本の直線が (引けるときこの直線が) 直交する条件は, $$ a^2-b^2=p^2+q^2 ,\hspace{15pt} q\ne\pm\frac{b}{a}p $$ が成り立つことである.

命題. 双曲線 $$H’:\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$$において, \(H’\)の外側にある点\({\rm{P}}(p,q)\)を通り\(H’\)に接する\(2\)本の直線が (引けるときこの直線が) 直交する条件は, $$ -a^2+b^2=p^2+q^2 ,\hspace{15pt} q\ne\pm\frac{b}{a}p $$ が成り立つことである.
補足. 上の命題の結果からわかるように, このような点\({\rm{P}}\)(が存在する場合そ)の軌跡は(\(4\)点を除いた)円になる. この円を双曲線の準円という.

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