同様に， 点\({\rm{P}}\)の位置を， 位置ベクトル を用いて表し， 直線をベクトルの等式を用いて定めることができる． すなわち，平面上の直線を， 集合 $$ \{ {\rm{P}}(\vec{p})\mid \mbox{ベクトル }\vec{p}\mbox{ に関する等式} \} $$ として定めることができる． ここに現れた，「ベクトル\(\vec{p}\)に関する等式」を 直線の ベクトル方程式 という．
実際に，直線のベクトル方程式は，次のように求められる．
命題．
点\({\rm{A}}(\vec{a})\)を通り，
ベクトル\(\vec{d}\ne\vec{0}\)に平行
な直線
のベクトル方程式は，
$$
\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}
$$
である．
ここで，
\(t\)は媒介変数である．
命題．
\(2\)点\({\rm{A}}(\vec{a}),\ {\rm{B}}(\vec{b})\)を通る直線
のベクトル方程式は，
$$
\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}
$$
である．
ここで，
\(t\)は媒介変数である．
命題．
点\({\rm{A}}(\vec{a})\)を通り，
ベクトル\(\vec{n}\ne\vec{0}\)に垂直な直線
のベクトル方程式は，
$$
\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0
$$
である．
