ベクトルの内積

$\overrightarrow{0}$でない２つのベクトル $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$ の内積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$を， $$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$$ と定義し，図形的には，

$\overrightarrow{a}$と， $\overrightarrow{b}$の$\overrightarrow{a}$への正射影ベクトルの符号付き長さの積

と考えられることを説明する．（下図では， $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{{\rm{OA}}}$， $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{{\rm{OB}}}$としている．よって， $\overrightarrow{b}$の$\overrightarrow{a}$への正射影ベクトルは， $\overrightarrow{{\rm{OH}}}$ である．）

このあと，内積と成分に関する重要な公式

２つのベクトル$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)$， $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$に対して，次が成り立つ． $$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2$$

を余弦定理を用いて証明する．

また，ベクトルの平行・垂直と内積との関係

$\overrightarrow{0}$でない２つのベクトル $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$ について，次が成り立つ．

$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が平行 $\Longleftrightarrow \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\pm|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$
$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が垂直 $\Longleftrightarrow \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$

や，内積の演算法則

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} =\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a} \hspace{10pt}$〔交換法則〕
$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}\pm\overrightarrow{c}) =\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\pm\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c} \hspace{10pt}$〔分配法則〕
$(k\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b} =\overrightarrow{a}\cdot(k\overrightarrow{b}) =k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}) \hspace{10pt}(k\in\mathbb{R})$

についても解説する．

最後にこれまでの結果をまとめておく．

$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} =|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta =a_1b_1+a_2b_2 \hspace{15pt},\hspace{15pt} \cos\theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} =\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$$

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