２円の交点を通る図形の方程式

高校数学By gleamath
２つの円が異なる２点で交わる場合， その２つの共有点を通る図形（直線もしくは円に限る）について考察する． 通る２点の情報だけでは，円は１つに決まらないが， 変数\(k\)を用いて，これらの直線や円たちを統一して記述することができる．

２つの円 $$C_1: x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1=0,$$ $$C_2: x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2=0$$ が異なる２点で交わっているとする． このとき，任意の実数\(k\)に対して，方程式
$$ k(x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1)+x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2=0 $$
は，次のような図形を表す．
  • \(k=-1\)のとき，\(C_1\)と\(C_2\)の２交点を通る直線，
  • \(k\ne-1\)のとき，\(C_1\)と\(C_2\)の２交点を通る円．
逆に， この２交点を通る円（円\(C_1\)を除く） は， ある\(k\)が存在して，上の形の方程式で表すことができる．
証明を読むための予備知識としては， 円の方程式， ２円の関係 が必要である．


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