中線定理
\(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)に対して，
辺\({\rm{BC}}\)の中点を\({\rm{M}}\)とするとき，
次が成り立つ．
$${\rm{AB}}^2+{\rm{AC}}^2=2({\rm{AM}}^2+{\rm{BM}}^2)$$
この式は，
\({\rm{B}}\)と\({\rm{C}}\)に関して対称的な形で書くこともできる．
$$
({\rm{AB}}^2-{\rm{BM}}^2)
+({\rm{AC}}^2-{\rm{CM}}^2)
=2{\rm{AM}}^2
$$
ただし，\({\rm{BM=CM}}\)である．
中線定理は，\(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)に対して， 辺\({\rm{BC}}\)を\(1:1\)に内分する点を\({\rm{M}}\)としたときの定理であったが， 内分の比率を一般に\(m:n\)としても同じような結果が成り立つというのが， スチュワートの定理である． スチュワートの定理の結果の式については， 多くの表し方があるが，ここでは中線定理の注意で紹介した形と対応させて定理を述べる．
スチュワートの定理
\(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)に対して，
辺\({\rm{BC}}\)を\(m:n\)に内分する点を\({\rm{P}}\)とするとき，
次が成り立つ．
$$
n({\rm{AB}}^2-{\rm{BP}}^2)
+m({\rm{AC}}^2-{\rm{CP}}^2)
=(m+n){\rm{AP}}^2
$$
最後に，スチュワートの定理の系として， 外分点に関する結果を紹介しよう．
\(\bigtriangleup{\rm{ABC}}\)に対して，
辺\({\rm{BC}}\)を\(m:n\)に外分する点を\({\rm{Q}}\)とするとき，
次が成り立つ．
$$
-n({\rm{AB}}^2-{\rm{BQ}}^2)
+m({\rm{AC}}^2-{\rm{CQ}}^2)
=(m-n){\rm{AQ}}^2
$$
