まず，一般の周期関数に対して成り立つ， 次の命題を証明する．
命題．
関数\(f(x)\)を 周期\(p\)を持つ周期関数とする．このとき， \(k\ne0\)に対して， 関数\(f(kx)\)は，周期\(\displaystyle\frac{p}{|k|}\)を持つ周期関数である．
この結果から次が従う．
- 関数\(y=\sin kx\)は，周期関数であり， その周期は\(\displaystyle\frac{2\pi}{|k|}\)である．
- 関数\(y=\cos kx\)は，周期関数であり， その周期は\(\displaystyle\frac{2\pi}{|k|}\)である．
- 関数\(y=\tan kx\)は，周期関数であり， その周期は\(\displaystyle\frac{\pi}{|k|}\)である．
また，\(y\)軸方向への拡大・縮小を考えることにより， 次も明らかである．
任意の\(x\)と，
\(k\ne0\)に対して，
$$-k\leq k\sin x\leq k$$
$$-k\leq k\cos x\leq k$$
が成り立つ．
平行移動については，次のように， これまでの関数と同じように考えることができる．
\(y=f(x)\)を三角関数とする．
このとき，
$$y=f(x-p)+q$$
のグラフは，もとのグラフを，
\(x\)軸方向に\(p\)，
\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動させたグラフである．
