定義．
微分可能な関数\(y=f(x)\)と，
その定義域内の区間\(I\)に対して，
任意の\(u, v\in I\ (u < v)\)をとる．
- 曲線\(y=f(x)\)が， 区間\(I\)で下に凸であるとは， 次が成り立つときをいう． $$ u< x < v \ \Longrightarrow \ \frac{f(x)-f(u)}{x-u} \leq \frac{f(v)-f(x)}{v-x} $$
- 曲線\(y=f(x)\)が， 区間\(I\)で上に凸であるとは， 次が成り立つときをいう． $$ u< x < v \ \Longrightarrow \ \frac{f(x)-f(u)}{x-u} \geq \frac{f(v)-f(x)}{v-x} $$
上で定義した下に凸や上に凸は， 直感的には，下図のようなことを言っている．
任意の\(u, v\in I\ (u < v)\)をとり， ２点\({\rm{U, V}}\)を， $${\rm{U}}(u,f(u)),\ {\rm{V}}(v,f(v))$$ と定める． このとき， 次の命題を証明する．
命題．
\(y=f(x)\)が，
区間\(I\)で下に凸であるとは，
次と同値である．
- 任意の区間\([u,v]\)上で， 曲線\(y=f(x)\)は，線分\({\rm{UV}}\)の下側にある．
- 接線の傾きが単調に増加する． すなわち，導関数\(f'(x)\)は， \(I\)上で単調増加である．
- \(I\)上における接線は， 常に曲線\(y=f(x)\)の下側にある．
