命題（置換積分法）．
\(f(x)\)を連続関数とし，
\(x=g(t)\)を微分可能関数でその導関数が連続関数であるものとする．
$$
\int f(x) \, dx
=\int f\left(g(t)\right)g'(t) \, dt.
$$
この命題は，
\(f(x)\)の原始関数のうちの１つを\(F(x)\)とおき，
\(F( g(t))\)に
合成関数の微分法
$$
\{F( g(t))\}’
\ =\
F'(g(t)) g'(t)
\ =\
f( g(t) ) g'(t)
$$
を適用することで
簡単に証明できる．
置換積分法の公式は， \(x=g(t)\)とおき， （形式的に）右辺に\(dx=g'(t)dt\) を代入したように見える． これがライプニッツ記法が優れていると言われる理由の１つであるが， そのことについても言及する．
最後に， 基本的な置換積分の公式を 例を挙げて紹介する．
- \(\displaystyle\int f(ax+b)\, dx =\displaystyle\frac{1}{a} F(ax+b)+C\) \(\ (a\ne0)\)
- \(\displaystyle\int \{g(x)\}^\alpha\, g'(x)\, dx =\displaystyle\frac{\{g(x)\}^{\alpha+1}}{\alpha+1} +C\) \(\ (\alpha\ne-1)\)
- \(\displaystyle\int \frac{g'(x)}{g(x)}\, dx =\log |g(x)| +C\)
