$\frac{1}{6}$面積公式

命題（ $\frac{1}{6}$ 公式） 定数

$\alpha,\beta$ に対して，次が成り立つ．

$\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\ dx \ =\ -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$

$\frac{1}{6}$ 公式は，次のように言い換えることができる．

命題．

$f(x)=ax^2+bx+c$ とする．放物線

$C:y=f(x)$ と，直線

$\ell:y=px+q$ が，異なる２点

$(\alpha,f(\alpha)),\ (\beta,f(\beta))$ で交わっているとする（ただし，

$\alpha<\beta$ とする）．このとき，放物線

$C$ と直線

$\ell$ で囲まれる部分の面積

$S$ について次が成り立つ．

$S \ =\ \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$

上の命題を証明し，最後に，２つの放物線で囲まれる部分の面積や，三次曲線で囲まれる部分の面積についても，

$\frac{1}{6}$ 公式が使える場合があることについて説明する．

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