放物線で区切られる部分の面積

命題．$a > 1,\ b > 0$とする． 座標平面上において， 図のように， $2$つの放物線 $y=ax^2,\ y=\frac{1}{a}x^2$と， 直線 $y=b$で定まる$3$つの領域の面積を それぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$とする．このとき， $b$の値によらず， $$S_1+S_2=2S_3$$ $$S_1:S_2:S_3=2:2(a-1):a$$ が成り立つ． とくに， $a=2$のときは， $$S_1=S_2=S_3.$$ が成り立つ．