定理．
（ラグランジュの補間公式）
座標平面上の \(x\)座標が相異なる\(n+1\)個の点
定義．
\(L(x)\)を，ラグランジュ型の補間多項式といい，
\(\ell_k(x)\)を，ラグランジュ基底多項式という．
座標平面上の \(x\)座標が相異なる\(n+1\)個の点
$$
P_1(x_1,y_1),\ P_2(x_2,y_2),\ \cdots\ ,P_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})
$$
に対して，
これら全ての点
を通る\(n\)次以下の（多項式）関数\(y=L(x)\)が，
ただひとつ存在して，
$$
L(x)=\sum_{k=1}^{n+1}y_k\ell_k(x)
$$
と表される．ここで，
$$
\ell_k(x)=\prod_{i=1\ (i\ne k)}^{n+1}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}
$$
である．
（\(\ell_k(x)\)の積は，\(k\)を除く\(1\)から\(n+1\)の自然数をわたる．）
補足． 与えられたいくつかの点を多項式で補間することを 多項式補間といい， その多項式を補間多項式という． ラグランジュの補間公式 は， ラグランジュ基底多項式\(\ell_k(x)\)の線形結合により， 補間多項式を与える公式である． この公式によって与えられた補間多項式\(L(x)\)を ラグランジュ型の補間多項式という．
