剰余加群の普遍性

$A$ を（単位元を持つ）可換環とし，

${\bf{A\mbox{-}Mod}}$ を

$A$ 加群の圏とする．

${\bf{A\mbox{-}Mod}}$ の対象

$M,N$ に対して，

$M$ から

$N$ への射

$M\to N$ 全体の集合を

${\rm{Hom}}_A(M,N)$ で表す．集合全体のなす圏を

${\bf{Set}}$ で表す．

$N$ を

$A$ 加群，

$M$ を

$N$ の部分加群とし，

$i:M\to N$ を包含写像とする．

$M$ による

$N$ の剰余加群を

$N/M$ で表し，

$p:N\to N/M$ を標準全射とする．

$N$ が表現する関手

$h^N:{\bf{A\mbox{-}Mod}}\to{\bf{Set}}$ の部分関手

${\rm{Ker}}\ i^*$ を

$A$ 加群

$W$ に対して，

${\rm{Ker}}\ i^*(W) ={\rm{Ker}}(i^*:{\rm{Hom}}_A(N,W)\to{\rm{Hom}}_A(M,W))$

で定める．ここで，

$f\in{\rm{Hom}}_A(N,W)$ に対して，

$i^*(f)=f\circ i\in{\rm{Hom}}_A(M,W)$ である．

定理. 関手の同型

$p^*:h^{N/M}\to{\rm{Ker}}\ i^*$ が存在する．

定義.
定理の関手の同型

$p^*$ が存在することを剰余加群の普遍性 という．

定義.

$C$ を圏とし，

$F:C\to{\bf{Set}}$ を関手とする．

$C$ の対象

$X$ と関手の同型

$h^X\to F$ が存在するとき，

$F$ は

$X$ で表現される（表現可能である） という．また，この同型により，

$1_X\in h^X(X)$ に対応する

$F(X)$ の元を，

$F$ の普遍元という．

注意.
剰余加群の普遍性とは， 剰余加群 $N/M$ が関手 ${\rm{Ker}}\ i^*$ を表現することと言っても同じことである．普遍元は，標準全射

$p\in{\rm{Hom}}_A(N,N/M)$ である．

定理の証明はこちら
PDF

この記事は， [斎藤2020] を参考にさせていただいています．