ニュートンにおいて,微分の概念は「流率」(fluxion)として出現する.
この理論が固まったのは,1666年頃だと言われているが,
流率というものが初めて公表されたのは,
1687年出版の
「自然哲学の数学的原理」(Principia mathematica philosophiae naturalis)
と呼ばれる書物だった.
以下,これを「プリンキピア」と呼ぶ.
プリンキピア第二巻第二部の補助定理Ⅱでは,
これは,現代の言葉で述べると, 合成関数の積の微分に対応している. つまり,
- 運動あるいは流動して絶えず増加または減少している量を, 生成量(genitum),
- 生成量の瞬間的な増減のことを モーメント(momentum)
任意の生成量\( A,B\)のモーメントを\(a,b\)とするとき, 長方形の面積\(AB\)のモーメントは,\(aB+bA\)である.
これは,現代の言葉で述べると, 合成関数の積の微分に対応している. つまり,
\(t\)の関数\(A:=A(t), B:=B(t)\)の 導関数をそれぞれ,\(a:=A'(t), b:=B'(t)\)をとする. この時,\(AB\)すなわち,\(A(t)B(t)\)の導関数は, \(aB+bA\)すなわち,\(A'(t)B(t)+B'(t)A(t)\)である.
- 生成量のことを流量(fluens),
- モーメントのことを流率(fluxio)
ここでは, (原典の正確な写しではなく,かなり要約した形ではあるが,) この補助定理Ⅱの証明を紹介する.
この記事は, [中村1980], [河辺1979] を参考にさせていただいています.