Newtonの流率論（Principia第二巻第二部補助定理Ⅱ）

ニュートンにおいて，微分の概念は「流率」(fluxion)として出現する．この理論が固まったのは，1666年頃だと言われているが，流率というものが初めて公表されたのは， 1687年出版の 「自然哲学の数学的原理」(Principia mathematica philosophiae naturalis) と呼ばれる書物だった．以下，これを「プリンキピア」と呼ぶ．

プリンキピア第二巻第二部の補助定理Ⅱでは，

運動あるいは流動して絶えず増加または減少している量を， 生成量(genitum)，
生成量の瞬間的な増減のことを モーメント(momentum)

と呼び，次のような事が述べられている．

任意の生成量 $A,B$ のモーメントを $a,b$ とするとき，長方形の面積 $AB$ のモーメントは， $aB+bA$ である．

これは，現代の言葉で述べると，合成関数の積の微分に対応している．つまり，

$t$ の関数 $A:=A(t), B:=B(t)$ の導関数をそれぞれ， $a:=A'(t), b:=B'(t)$ をとする．この時， $AB$ すなわち， $A(t)B(t)$ の導関数は， $aB+bA$ すなわち， $A'(t)B(t)+B'(t)A(t)$ である．

という事を述べている．そして，補助定理Ⅱの後の命題８において，

生成量のことを流量(fluens)，
モーメントのことを流率(fluxio)

と呼ぶ事が述べられている．
ここでは，（原典の正確な写しではなく，かなり要約した形ではあるが，）この補助定理Ⅱの証明を紹介する．

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この記事は， [中村1980]， [河辺1979] を参考にさせていただいています．