放物線で区切られる部分の面積

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命題.\(a > 1,\ b > 0\)とする. 座標平面上において, 図のように, \(2\)つの放物線 \(y=ax^2,\ y=\frac{1}{a}x^2\)と, 直線 \(y=b\)で定まる\(3\)つの領域の面積を それぞれ\(S_1,\ S_2,\ S_3\)とする.このとき, \(b\)の値によらず, $$S_1+S_2=2S_3$$ $$S_1:S_2:S_3=2:2(a-1):a$$ が成り立つ. とくに, \(a=2\)のときは, $$ S_1=S_2=S_3. $$ が成り立つ.


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