相加平均と相乗平均の大小関係については次が知られている．
２つの正の数
\(a,b\)に対して，次が成り立つ．
$$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$$
等号が成り立つのは，\(a=b\)のときである．
上の性質を証明し，これの 一般化である次の性質についても証明する．
\(n=2,3,\cdots\)とする．
\(n\)個の正の数
\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)に対して，次が成り立つ．
$$
\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}
$$
等号が成り立つのは，\(a_1=a_2=\cdots=a_n\)のときである．
