定義．
曲線上の点が限りなく遠ざかるにつれて，
曲線がある一定の直線に近づくとき，
この直線を曲線の漸近線という．
まずは，この定義を正確に記述しよう． 実数全体の集合を\(\mathbb{R}\)として， \(I\subset\mathbb{R}\)を区間とする． 座標平面上の媒介変数表示された曲線 $$ C:\ I\rightarrow\mathbb{R}^2 \ ;\ t\mapsto \left(x(t), y(t)\right) $$ と，直線 $$ \ell:\ ax+by+c=0 $$ を考える． 座標平面\(\mathbb{R}^2\)における， 曲線\(C\)上の点\((x(t), y(t))\)と 直線\(\ell\)との距離を $$ d(t)=\frac{|ax(t)+by(t)+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$ とおく． このとき，漸近線の定義は次のように述べられる．
定義．
直線\(\ell\)が，曲線\(C\)の
漸近線であるとは，
\(\alpha\in I\)（\(\alpha=\pm\infty\)でも良い．）
に対して，
$$
\lim_{t\to\alpha}\left\{(x(t))^2+(y(t))^2\right\}=\infty
,\hspace{20pt}
\lim_{t\to\alpha}d(t)=0
$$
が成り立つときをいう．
この定義から導かれる命題をいくつか証明する．
命題．
- \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{x^2+(f(x))^2\}=\infty\)を満たす 曲線\(y=f(x)\)において， \begin{equation} \lim_{x\to\infty} \{f(x)-(ax+c))\}=0 \end{equation} が成り立つとき， 直線\(y=ax+c\)は曲線\(y=f(x)\)の漸近線である．
- \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\{x^2+(f(x))^2\}=\infty\)を満たす 曲線\(y=f(x)\)において， \begin{equation} \lim_{x\to-\infty} \{f(x)-(ax+c))\}=0 \end{equation} が成り立つとき， 直線\(y=ax+c\)は曲線\(y=f(x)\)の漸近線である．
-
曲線\(y=f(x)\)のグラフにおいて，
\begin{equation} \lim_{x\to\infty} f(x)=c \hspace{10pt} \mbox{または，} \hspace{10pt} \lim_{x\to-\infty} f(x)=c \end{equation}が成り立つとき， 直線\(y=c\)は曲線\(y=f(x)\)の漸近線である．
-
曲線\(y=f(x)\)のグラフにおいて，
\begin{equation} \lim_{x\to c+0}f(x)=\infty, \hspace{7pt} \lim_{x\to c+0}f(x)=-\infty, \hspace{7pt} \lim_{x\to c-0}f(x)=\infty, \hspace{7pt} \lim_{x\to c-0}f(x)=-\infty \end{equation}のいずれかが成り立つとき， 直線\(x=c\)は曲線\(y=f(x)\)の漸近線である．
