定点（中心）からの距離（半径）が等しい点の集まり
円の方程式（基本形）
中心が\((a,b)\)で，半径が\(r\)である円の方程式は，
$$
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
$$
である．特に，中心が原点である円の方程式は，
\(
x^2+y^2=r^2
\)
となる．
中心と半径を決めなくても， 通る３点を決めれば，円は１つに決まることがわかる． すなわち通る３点が決まっていれば， それらを通る円の方程式が決定できるはずである． このような場合にも対応できるように， 円の方程式の一般形を考えよう．
上で求めた円の方程式（基本形）の形から， \(x^2\)と\(y^2\)の項の係数は\(1\)としてよく， さらに，\(xy\)の項や\(3\)次以上の項が現れないこともわかる． このことをふまえて， 円の方程式（一般形）の候補として， 次のような方程式を考えることができる． $$ x^2+y^2+lx+my+n=0 $$ どのような\((l,m,n)\)の組に対しても， この方程式が円を表すのかを確認しなければならない． そのために，\(x\)と\(y\)に対して平方完成を行うことで， 次のように上の式を変形する．
$$
\left(x+\frac{l}{2}\right)^2
+\left(y+\frac{m}{2}\right)^2
=\left(\frac{\sqrt{l^2+m^2-4n}}{2}\right)^2
$$
基本形と比較し，
半径\(r\)にあたる部分\(\displaystyle\frac{\sqrt{l^2+m^2-4n}}{2}\)
は正の数でなければならないことがわかる．
よって，この式が円を表すためには，
\(l^2+m^2-4n>0\)となることが必要であり，
逆にこれを満たす\((l,m,n)\)の組に対しては，
この式は，
中心\(\left(-\displaystyle\frac{l}{2},-\displaystyle\frac{m}{2}\right)\)
，半径\(\displaystyle\frac{\sqrt{l^2+m^2-4n}}{2}\)
の円を表すことがわかる．
以上のことをまとめておこう．
円の方程式（一般形）
$$
x^2+y^2+lx+my+n=0
\hspace{10pt}
(l^2+m^2-4n>0)
$$
通る点が２つしかわかっていない場合は，円は１つに決まらないが， その２点が円の直径であるという条件が付加されれば， 円は１つに決まる．このような場合について考えてみよう．
２点\({\rm{A,B}}\)を直径とする円の方程式を求めたいする． （もちろん\({\rm{A,B}}\)の座標はわかっているとする．） \({\rm{A,B}}\)の中点を\({\rm{M}}\)とすると， 点\({\rm{M}}\)は，求める円の中心であり， 半径は\({\rm{AM=BM}}\)なので，基本形を用いて簡単に円の方程式を導くことができる．
しかし，次では少し違う視点からこの問題を考えてることによって， 次の方程式が得られることを証明する．
２点\({\rm{A}}(x_1,y_1)\)，\({\rm{B}}(x_2,y_2)\)を直径とする円の方程式は，
$$
(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0
$$
である．
