実数の連続性

あいだBy gleamath
高等学校では，実数を，数直線上の点として表すことのできる数として定義する． つまり，実数全体の集合は数直線なのだから， 途切れていないというわけである． この「途切れていない」という性質は， かなり大事なのであるが， 高校数学では，（上の定義を見てもわかるように，） 当たり前に成り立つものとして，特に言及もされないのである． しかし，厳密には，次のような公理を認めてから議論を始める必要がある．

公理．（実数の連続性） \(X\)を実数全体の集合の空でない部分集合とする．
  • \(X\)が上に有界ならば，上限\(\sup X\)が存在する．
  • \(X\)が下に有界ならば，下限\(\inf X\)が存在する．
実は，実数の連続性公理には， いくつか同値な定理が存在しており 他の定理を公理として採用することで，実数の連続性公理を証明することができる （そのため実数の連続性公理は上限定理と呼ばれることもある．）． 例えば， （これも高校数学では証明なしに認められる定理であるが） 「有界な単調数列は収束する．」という定理は， 実数の連続性公理と同値である． 数直線が途切れていないというイメージに合うのは，むしろこちらの定理かもしれない．


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この記事は， [黒田2018] を参考にさせていただいています．