関数\(y=f(x)\)において，
\(x\)が\(a\)から\(b\)まで変化するときの
関数\(f(x)\)の平均変化率
とは，
\(x\)の変化量\(b-a\)に対する，
\(y\)の変化量\(f(b)-f(a)\)の割合のこと，
すなわち
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
のことである．
これは，\(y=f(x)\)のグラフ上の
２点
$${\rm{A}}(a,f(a)),\hspace{10pt}{\rm{B}}(b,f(b))$$
を通る直線\({\rm{AB}}\)の傾きである．
平均変化率は，ある区間\(a\leq x\leq b\) における関数\(f(x)\)の変化の割合であるが， 点\({\rm{B}}\)を点\({\rm{A}}\)に近づけ， この区間を限りなく小さくすることを考える． このときの平均変化率の極限値が存在すれば， それを微分係数という． 正確には，次の定義の通りである．
関数\(f(x)\)において，極限値 $$\lim_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ が存在するとき，この値を， 関\(f(x)\)の \(x=a\)における微分係数といい， \(f'(a)\)で表す． これは， \(b-a=h\)とおくことで，次のようにも表せる． $$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
\(f(x)\)において， \(x=a\)における微分係数\(f'(a)\)が存在するとき， \(f(x)\)は\(x=a\)で微分可能であるという．また， 定義域の全ての点で微分可能のときは， 単に， \(f(x)\)は微分可能という．
微分可能性の定義に従って次の定理を証明する．
関数\(f(x)\)が，\(x=a\)で微分可能なら， \(x=a\)で連続である．
導関数を定義する． 関数\(y=f(x)\)が区間\(I\)で微分可能であるとする． このとき，\(a\in I\)に対して，\(f'(a)\)を対応させることで， 新しい関数を定義することができる．すなわち関数
$$I\longrightarrow\mathbb{R}
\hspace{15pt};\hspace{15pt}
a \mapsto f'(a)
$$
を定義することができる．
関数\(y=f(x)\)に対して，上のように定義される関数を \(y=f(x)\)の導関数といい， \(f'(x)\), \(\displaystyle\frac{dy}{dx}\) などと表す．すなわち， $$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ である． 関数\(f(x)\)から， その導関数を求めることを \(f(x)\)を\(x\)で微分するという．
上でも紹介したように導関数を表す記号はいくつか存在する． これは歴史的な要因が関係している． 記号についての補足をしたのち， 接線と微分の関係 についても述べる．
