注意． 定積分の定義は原始関数\(F(x)\)の取り方によらないことに注意する．
また不定積分と同じように， 定積分にも次のような線形性があることを証明する．
$$
\int_a^b \{kf(x)+lg(x)\}\, dx = k\int_a^b f(x)\, dx+l\int_a^b g(x)\, dx
\hspace{25pt}
(k,\ l \mbox{は定数})
$$
定積分は関数であったが， 定積分は値である． このため，定積分に関しては次が成り立つ．
- （上端下端の交換） \(\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx =-\displaystyle\int_b^a f(x)\, dx \)
- （ 一点の区間 ） \(\displaystyle\int_a^a f(x)\, dx=0 \)
- （積分変数の交換） \(\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx=\displaystyle\int_a^b f(t)\, dt \)
- （積分区間の分割） \(\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx =\displaystyle\int_a^c f(x)\, dx +\displaystyle\int_c^b f(x)\, dx \)
