正の実数\(M\)に対して，
$$M=a^p$$
を満たす実数\(p\)が，ただ１つ定まる．
この\(p\)を
\(a\)を底とする\(M\)の対数といい，
$$\log_aM$$と表す．
また，\(M\)をこの対数の真数という．
対数\(\log_aM\)の定義から，真数\(M\)は必ず正の実数であることに注意する．
対数の定義から次が成り立つ．
\(a > 0, a\ne1, M > 0\)とする．このとき次が成り立つ．
$$
a^p=M
\Longleftrightarrow
p=\log_aM
$$
また，以下の性質が成り立つ．
\(a > 0\)，\(a\ne1\)に対して，次が成り立つ．
\( \log_aa=1 \)
\( \log_a1=0 \)
\( \log_a\frac{1}{a}=-1 \)
\(a, b, c\)を\(1\)でない正の実数，
\(M, N\)を正の実数，
\(k\)を実数とするとき，次が成り立つ．
\(\log_aMN=\log_aM+\log_aN\)
\(\log_aM^k=k\log_aM\)
\(\log_a\displaystyle\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)
\(\log_ab=\displaystyle\frac{\log_cb}{\log_ca}\)
