対数の定義とその性質

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\(a > 0, a\ne1\)とする. 指数関数\(y=a^x\)の単調増加(減少)性から, \(y > 0\)の値を1つ定めると, それに応じて,\(x\)の値が1つ定まる. この事実から,次のように対数を定義できる.
正の実数\(M\)に対して, $$M=a^p$$ を満たす実数\(p\)が,ただ1つ定まる. この\(p\)を \(a\)をとする\(M\)の対数といい, $$\log_aM$$と表す. また,\(M\)をこの対数の真数という.
対数\(\log_aM\)の定義から,真数\(M\)は必ず正の実数であることに注意する.

対数の定義から次が成り立つ.
\(a > 0, a\ne1, M > 0\)とする.このとき次が成り立つ. $$ a^p=M \Longleftrightarrow p=\log_aM $$


また,以下の性質が成り立つ.
\(a > 0\),\(a\ne1\)に対して,次が成り立つ.

  • \( \log_aa=1 \)

  • \( \log_a1=0 \)

  • \( \log_a\frac{1}{a}=-1 \)


\(a, b, c\)を\(1\)でない正の実数, \(M, N\)を正の実数, \(k\)を実数とするとき,次が成り立つ.
  • \(\log_aMN=\log_aM+\log_aN\)

  • \(\log_aM^k=k\log_aM\)

  • \(\log_a\displaystyle\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)

  • \(\log_ab=\displaystyle\frac{\log_cb}{\log_ca}\)




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