\(y=f(x)\)を\(I\)上で定義された関数し，
その値域を\(V\)とする．
任意の\(a_1, a_2\in I\)に対して，
$$
f(a_1)=f(a_2) \Longrightarrow a_1=a_2
$$
が成り立つなら，
\(V\)を定義域とする\(y=f(x)\)の逆関数\(x=f^{-1}(y)\)が存在する．
上の補題における
\(f(a_1)=f(a_2) \Longrightarrow a_1=a_2\)
という仮定は，
単射性と呼ばれる．
微分可能な関数が単射であるとは，
狭義単調増加または狭義単調減少
ということである．
逆関数の微分法を述べるために，次のように言葉を定義する:
関数\(y=f(x)\)において，
定義域の部分集合\(I\)に対して，
$$V:=\{y=f(x)\mid x\in I\}$$
を関数\(f(x)\)における
\(I\)の像といい，\(V\)を\(f(I)\)とかく．
最後に逆関数の微分法を証明する．
関数\(y=f(x)\)が，\(I\)上で単射であり微分可能である
とする．
さらに，全ての\(x\in I\)に対して，\(f'(x)\ne0\)であれば，
逆関数\(x=f^{-1}(y)\)は\(f(I)\)で微分可能であって，
次が成り立つ．
$$
\displaystyle\frac{d}{dy}f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)}
\hspace{5pt}\mbox{すなわち，}\hspace{5pt}
\displaystyle\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}
.$$
最後に具体例として， 逆関数の微分法を用いて， 関数\(x=\sqrt{y}\)の導関数を求める．
