倍角の公式と半角の公式

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加法定理を用いて, 2倍角,3倍角,半角の公式と呼ばれる公式を証明する.

2倍角の公式

  • \(\sin2\alpha =2\sin\alpha\cos\alpha\)

  • \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha =1-2\sin^2\alpha =2\cos^2\alpha-1\)

  • \( \tan2\alpha=\displaystyle\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \)


3倍角の公式

  • \(\sin3\alpha =3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\)

  • \(\cos3\alpha =-3\cos\alpha+4\cos^3\alpha\)

  • \(\tan3\alpha =\displaystyle\frac{\tan^3\alpha-3\tan\alpha}{3\tan^2\alpha-1}\)


半角の公式

  • \(\sin^2\displaystyle\frac{\alpha}{2} =\frac{1-\cos\alpha}{2}\)

  • \(\cos^2\displaystyle\frac{\alpha}{2} =\frac{1+\cos\alpha}{2}\)

  • \(\tan^2\displaystyle\frac{\alpha}{2} =\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\)



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