楕円

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平面上で, 異なる2定点\({\rm{F,F’}}\)からの距離の和が一定である 点\({\rm{P}}\)の軌跡を 楕円という. 2定点\({\rm{F,F’}}\)をその楕円の焦点という. ただし,和\({\rm{PF+PF’}}\)(一定)は, 2定点の距離\({\rm{FF’}}\)より大きいとする.
楕円の定義から, 次の2つの場合の 楕円の方程式を証明する.

◆焦点が\(x\)軸上にある場合(横長の楕円)

\(c>0\)とする. 2定点\({\rm{F}}(c,0)\),\({\rm{F’}}(-c,0)\) を焦点とし,この2定点からの距離の和が\(2a\)である 楕円の方程式は, $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ である.ただし, \(a>c\)であり \(b=\sqrt{a^2-c^2}\)とおいた.\((a>b)\)


◆焦点が\(y\)軸上にある場合(縦長の楕円)

\(c>0\)とする. 2定点\({\rm{F}}(0,c)\),\({\rm{F’}}(0,-c)\) を焦点とし,この2定点からの距離の和が\(2b\)である 楕円の方程式は, $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ である.ただし, \(b>c\)であり, \(a=\sqrt{b^2-c^2}\)とおいた.\((b>a)\)


上の2つの楕円の方程式の形が同じであることに気づくだろう.
楕円の方程式が与えられた時に, その楕円が横長なのか縦長なのかを判断するためには,

\(a\)と\(b\)の大小関係を比較すれば良い.

このような楕円の性質についてまとめた後, 楕円の平行移動についても述べる.


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