指数不等式

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\(a>0, a\ne1\)とする. 指数関数\(a^x\)を含む不等式を 指数不等式という.

指数不等式の解法において,基本となる次の命題である. 証明は,指数関数の単調性から明らかであろう.
\(a>0, a\ne1\)とする. このとき,次が成り立つ. $$ a > 1\mbox{ なら, } a^m < a^n \Longleftrightarrow m < n $$ $$ 0 < a < 1\mbox{ なら, } a^m < a^n \Longleftrightarrow m > n $$


次の例題を用いて,指数不等式の解法を説明する.
  • \(5^x < 125\)

  • \(9^{2x+1} > 27^{x-1}\)

  • \(4^x+2^{x+2}-32 < 0\)

指数不等式の解法は,
底\(a\)を揃えて,指数同士の不等式を導く.
というのが基本である.


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