三角形の五心(外心・内心・傍心)

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定理. 三角形において,次の3本の直線は,必ず1点で交わる.
  • 3つの辺の垂直二等分線.

  • 3つの内角の二等分線.

  • 1つの頂点の内角の二等分線と,他の2つの外角の二等分線.

  • 3本の中線(頂点から対辺の中点に引いた線).

  • 3頂点から,対辺(またはその延長線)に下ろした垂線.



上の定理における交点は次のように呼ばれる.
三角形において,
  • 3つの辺の垂直二等分線の交点を外心という.

  • 3つの内角の二等分線の交点を内心という.

  • 1つの頂点の内角の二等分線と,他の2つの外角の二等分線の交点を傍心という.

  • 3本の中線の交点を重心という.

  • 3頂点から,対辺(またはその延長線)に下ろした垂線の交点を垂心という.

外心,内心,重心,垂心,傍心をまとめて,三角形の五心という.


次に五心の基本的な性質を紹介する.
定理. 三角形において,
  • 外心は,3頂点から等距離にある.

  • 内心は,3辺から等距離にある.

  • 傍心は,1つの辺と他の2辺の延長線から等距離にある.

  • 三角形の重心は,各中線を(頂点から)\(2:1\)に内分する.



上の定理から,次のように,外心,内心,傍心を中心とする円を定義できる.
三角形において,
  • 外心を中心として,3頂点を通る円を,外接円という.

  • 内心を中心として,3辺に接する円を,内接円という.

  • 傍心を中心として,1つの辺と他の2辺の延長線に接する円を,傍接円という.

ここでは,上で述べた事実のうち,

外心・内心・傍心

に関するのものを証明する. (重心・垂心についてはコチラ

外心\({\rm{O}}\)と外接円

内心\({\rm{I}}\)と内接円

傍心と傍接円




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