三角関数のグラフ　拡大縮小と平行移動

三角関数のグラフの拡大や縮小，平行移動について，関数の方程式との関係を説明する．

まず，一般の周期関数に対して成り立つ，次の命題を証明する．

命題．
関数

$f(x)$ を周期

$p$ を持つ周期関数とする．このとき，

$k\ne0$ に対して，関数

$f(kx)$ は，周期

$\displaystyle\frac{p}{|k|}$ を持つ周期関数である．

この結果から次が従う．

これらは，

$x$ 軸方向への拡大・縮小と見ることができる．

また，

$y$ 軸方向への拡大・縮小を考えることにより，次も明らかである．

任意の

$x$ と，

$k\ne0$ に対して，

$-k\leq k\sin x\leq k$

$-k\leq k\cos x\leq k$ が成り立つ．

平行移動については，次のように，これまでの関数と同じように考えることができる．

$y=f(x)$ を三角関数とする．このとき，

$y=f(x-p)+q$ のグラフは，もとのグラフを，

$x$ 軸方向に

$p$ ，

$y$ 軸方向に

$q$ だけ平行移動させたグラフである．

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